Deret Fibonacci

Rabu, 31MAY17

Selama nonton film Prison Break, disebutkan ada karakter bernama Fibonaci yang berhubungan dengan John Abruzi, rekan Michael Scolfield yang sama-sama akan kabur dari penjara. Mendengar kata Fibonaci, aku jadi teringat sebuah deret Matematika dengan nama yang persis sama.

Mari bernostalgia bersama ke masa sekolah dulu.

Apa itu Fibonaci?

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200), ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

F ( n ) = { 0 , jika  n = 0 ; 1 , jika  n = 1 ; F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) jika tidak. {\displaystyle F(n)={\begin{cases}0,&{\mbox{jika }}n=0;\\1,&{\mbox{jika }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{jika tidak.}}\end{cases}}} {\displaystyle F(n)={\begin{cases}0,&{\mbox{jika }}n=0;\\1,&{\mbox{jika }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{jika tidak.}}\end{cases}}}

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

Fn = (x1n – x2n)/ sqrt(5)

dengan

  • Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n
  • x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x2 – x – 1 = 0.

Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut rasio emas yang nilainya mendekati 1,618.

(Sumber : Wikipedia)

Advertisements